Umm tienes razón

, entonces si te funciona así no olvides cerrar la conexión con
mysql_close(), así tal cual lo ves, no es necesario indicar cual es el identificador ($link) ya que este comando cerrará el último enlace abierto. En tu caso
mysql_close() hará su trabajo ya que no estás usando enlaces persistentes con
mysql_pconnect(). De todos modos normalmente no es necesario usar
mysql_close() ya que las aperturas no persistentes son cerradas automáticamente cuando termina el script. Me atrevo a sospechar que en tu caso al intentar usar un enlace no persistente dentro de esa función a la que llamaste Conectarse() el enlace se pierde al intentar retornar el identificador, pero no estoy seguro y además como dices, te funciona en servidor local y no en el remoto, así que la solución a tu problema se resumiría sencillamente en cambiar mysql_connect() por mysql_pconnect() en tu función Conectarse().
Yo te recomendaría (al estilo de los scripts de Dreamweaver) que uses una conexión persistente de esta forma (que funciona muy bien):
myConnection.phpCódigo :
<?php
$hostname_myConnection = "localhost";
$database_myConnection = "yourDataBase";
$username_myConnection = "root";
$password_myConnection = "password";
$myConnection = mysql_pconnect($hostname_myConnection, $username_myConnection, $password_myConnection) or trigger_error(mysql_error(),E_USER_ERROR);
?>
series.phpCódigo :
<?php
require_once('Connections/myConnection.php');
mysql_select_db($database_myConnection, $myConnection);
$series_nuevas = mysql_query("select * from series where Nueva = 1", $myConnection) or die(mysql_error());
#... etc etc etc ...
?>
Así te tiene que funcionar, por el rendimiento no te preocupes, he probado con miles de registros y con mas o menos 70 personas al tiempo accediendo a la misma base de datos, y sin ningún problema...

Saludos.