Hola,
Migrar los archivos es fácil. Sólo debes cambiar el directorio completo donde están los archivos de tu sitio.Tendrías que descargar todos los archivos a tu computadora, y después subirlos al nuevo host, utilizando algún software para transferir archivos por
FTP.Puede ser un proceso lento, porque van a ser muchos archivos.
Para la base de datos, seguramente tu proveedor de hosting te ha instalado phpMyAdmin, que es un administrador gráfico de tu base de datos en MySQL. Conéctate a ese administrador, que debe ser accesible desde tu cuenta de hosting, y "Exporta" tu base de datos. El administrador permite hacerlo. Se va a generar un archvio de texto con extensión .sql (o .zip si eliges comprimir el archivo). Básicamente es un archivo de texto con toda la sintaxis para crear nuevamente la base de datos.
Finalmente, en tu nueva cuenta de hosting utiliza la misma aplicación phpMyAdmin para crear una base de datos vacía. Nombrala igual que en tu servidor viejo. También trata de que el usuario y password de la base de datos sean los mismos que los antiguos para no tener que cofigurar nada en los archivos de Joomla.
Una vez que esté creada la base de datos, utiliza nuevamente phpMyAdmin para "Importar" tu base de datos. La base de datos ya debe estar creada. Lo que hace la importación es utilizar tu archivo .sql para crear las tablas y cargar toda la información de la base de datos que exportaste.
Completa todo el proceso y prueba el sitio en el nuevo servidor antes de bajar tu servidor actual, para que tu sitio no se quede offline. :p
Esto es phpMyAdmin, por si no lo conoces. No es más que una aplicación web que está instalada en tu servidor y que sirve para controlar de manera gráfica tus bases de datos:
http://www.phpmyadmin.net/home_page/index.php
Este es un programa gratuito para transferir archivos vía FTP:
http://filezilla-project.org/
Esta es una forma de hacerlo. Parece complicado, pero no lo es. Espero te sirva.