Estimado, eso se puede realizar de diferentes formas, pero una de ellas es por metodo GET. en la url de "Ver Más" de esta forma: <a href="Pagina-de-destino.php?id=12" target="_self">Ver Más</a>, siendo la ID 12 un identificador único de la mascota, y en la pagina que envías esta variable ID, lo recibes así: $id_mascota=$_GET["id"]; y suponiendo que tu tienes una tabla de mascotas y que la PK es ID, luego de guardar el valor enviado por GET en la variable id, realizar la query.
Código PHP :
$ConsultaAMysql = $ConexionAMysql -> query("SELECT * FROM mascotas WHERE id='".$id_mascota."'"); // <---esta consulta esta realizado con PHP5
y así obtendrás todos los datos de esa tabla y por ende toda la información referente a la mascota.
Saludos,
Creigthon Lee